$$ \large\bm{(x^a)^b = x^{a*b}} $$ $$ \large\bm{x^{a+b} = x^a*x^b} $$ $$ \large\bm{x^{a-b} = \frac{x^a}{x^b}} $$

$$ \large\bm{f(x) = x} \tag*{Gerade} $$ $$ \normalsize\bm{f(x) = a*x+c} $$ $$ \small{Allgemein: a = Steigung \bigg(\frac {Δy} {Δx} \bigg)} $$ $$ \small{c = Verschiebung \thickspace y \thickspace(hoch / runter)} $$ $$ \large\bm{f(x) = x^2} \tag*{Parabel} $$ $$ \large\bm{f(x) = x^3} $$ $$ \large\bm{f(x) = \frac 1 x} $$ $$ \large\bm{f(x) = \frac 1 {x^2}} $$

$$ \large\bm{E(X) = p*x_1 + p*x_2 + p*x_3 + ...} \tag*{Alle Wkt. gleich (LaPlace)} $$ $$ \large\bm{E(X) = p_1*x_1 + p_2*x_2 + p_3*x_3 + ...} \tag*{Unterschiedliche Wkt.}$$ $$ \newline\quad\newline $$ $$ \large\bm{Var(X) = p*(x_1-E(X))^2 + p*(x_2-E(X))^2 + ...} \tag*{Alle Wkt. gleich (LaPlace)}$$ $$ \large\bm{Var(X) = p_1*(x_1-E(X))^2 + p_2*(x_2-E(X))^2 + ...} \tag*{Unterschiedliche Wkt.}$$ $$ \newline\quad\newline $$ $$ \large\bm{σ(X) = \sqrt{Var(X)}} \tag*{Standardabweichung} $$ $$ \allowbreak{(Die \space Standardabweichung \space erstreckt \space sich \space in \space positive \space und \space negative \space Richtung)} $$

$$ \large\bm{(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}} $$ $$ \large\bm{(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}} $$ $$ \large\bm{(a+b)*(a-b) = a^{2}-b^{2}} $$ $$ \allowbreak{} $$

$$ \large\bm{f(x) = H_0*a^t} \tag*{Grundform ohne e} $$ $$ \large\bm{f(x) = H_0*e^{k*t}} \tag*{Grundform mit e 1}$$ $$ \large\bm{f(x) = H_0*e^{ln(a)*t}} \tag*{Grundform mit e 2}$$ $$ \newline\quad\newline $$ $$ \allowbreak{Alle \space 3 \space Gleichungen \space erfüllen \space den \space selben \space Zweck.} $$ $$ \newline $$ $$ \allowbreak{Dass \space die \space Form \space ohne \space e \space und \space die \space Form \space mit \space e \space gleich \space sind \space wird \space klar, \space wenn \space man \space die \space Teile, \space in \space denen \space sich \space die \space Gleichungen \space unterscheiden, \space gleichsetzt.} $$ $$ \large\bm{a^t = e^{k*t} \quad | ln} $$ $$ \large\bm{ln(a^t) = k*t \quad | t \space vorziehen} $$ $$ \large\bm{t*ln(a) = k*t \quad | :t} $$ $$ \large\bm{ln(a) = k} $$ $$ \allowbreak{} $$

$$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{bmatrix} \tag*{Matrixmultiplikation} $$ $$ \newline $$ $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag*{3x3 Einheitsmatrix} $$ $$ \newline $$ $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots \\ \vdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag*{nxn Einheitsmatrix} $$

$$ A * \overrightarrow{v} = \lambda * \overrightarrow{v} \tag*{Allgemin} $$ $$ (A - \lambda E) * \overrightarrow{v} = 0 \tag*{Umgeformt} $$ $$ \begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{pmatrix} * \overrightarrow{v} = 0 \tag*{Allgemein 2x2} $$ $$ \begin{pmatrix} a - \lambda & b \quad\qquad\vert 0 \\ c & d - \lambda \quad\vert 0 \end{pmatrix} \tag*{Gauß anwenden} $$ $$ Für \space jeden \space Eigenwert \space wird \space so \space der \space zugehörige \space Eigenvektor \space berechnet: $$ $$ Setze \space den \space Eigenwert \space in \space \lambda \space ein \space und \space löse \space mit \space den \space obigen \space Methoden. $$

$$ \large\bm{y''(x) + ay'(x) + by(x) = s(x)} \tag*{Problem} $$ $$ \large\bm{y''(x) + ay'(x) + y(x) = s(x)} \tag*{Allgemeiner Ansatz (vom Typ der rechten Seite)} $$

$$ \large\bm{\lambda^2 + a\lambda^1 + b\lambda^0 = 0} $$

$$ \large\bm{y(x)_{hom} = c_0e^{\lambda_1x} + c_1e^{\lambda_2x}} $$

$$ \large\bm{f(x) = \lvert \scriptsize{\frac{2}{3}}\normalsize{x-1 \rvert}} \tag*{Beispiel} $$

$$ \bm{\scriptsize{\frac{2}{3}}\normalsize{x-1} \stackrel{!}{=} 0} $$ $$ \bm{\implies x = \scriptsize{\frac{3}{2}}} $$

$$ \bm{f(x) = \begin{cases} -(\frac{2}{3}\normalsize{x-1}) &\text{für } x \lt \frac{3}{2} \\ \quad \space \frac{2}{3}\normalsize{x-1} &\text{für } x \geq \frac{3}{2} \end{cases}} $$ $$ Bei \space einer \space NST \space fällt \space der \space Graph \space der \space Betragsfunktion \space links \space der \space NST $$ $$ und \space steigt \space rechts \space davon $$ $$ An \space den \space NST \space ist \space die \space Ableitung \space normalerweise \space nicht \space definiert $$ $$ Die \space Funktion \space wird \space immer \space dann \space eingeklammert \space und \space mit \space einem \space "-" \space versehen, $$ $$ wenn \space der \space Betrag \space in \space diesem \space Abschnitt \space die \space Funktion \space an \space der \space x-Achse \space gespiegelt \space hat $$

$$ Für \space x \lt \frac{3}{2}: \quad f'(x) = - \frac{2}{3} $$ $$ Für \space x \gt \frac{3}{2}: \quad f'(x) = \quad \frac{2}{3} $$